Fraktale Dimension; Selbstähnlichkeit
Fraktal ist ein von Benoît Mandelbrot (1975) geprägter Begriff (lat. fractus ‚gebrochen‘, von lat. frangere ‚brechen‘, ‚in Stücke zerbrechen‘), der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

Der Begriff Fraktal kann sowohl substantivisch wie adjektivisch verwendet werden. Das Gebiet der Mathematik, in dem Fraktale und ihre Gesetzmäßigkeiten untersucht werden, heißt fraktale Geometrie und ragt in mehrere andere Bereiche hinein, wie Funktionentheorie, Berechenbarkeitstheorie und dynamische Systeme. Wie der Name schon andeutet, wird der klassische Begriff der euklidischen Geometrie erweitert, was sich auch in den gebrochenen und nicht natürlichen Dimensionen vieler Fraktale widerspiegelt. Neben Mandelbrot gehören Wacław Sierpiński und Gaston Maurice Julia zu den namensgebenden Mathematikern.

Ein Blick in die Natur: Fraktale, überall Fraktale!

Die Wissenschaft entdeckte Fraktale nicht nur durch theoretische "Spielereien", sondern, wie schon erwähnt, auch vielfach in der Natur. Nicht ohne Grund schrieb auch Mandelbrot, der "Vater" der Fraktale, ein Werk namens "Die fraktale Geometrie der Natur". Briggs/Peat schrieben nicht nur über die fraktale Struktur der Wetterentwicklung und diejenige von Bäumen, sondern auch über fraktale Entdeckungen im Organismus:

"Die Gehirne kleiner Säugetiere sind relativ glatt, die von Menschen dagegen höchst faltenreich. Eine fraktale Dimension zwischen 2,79 und 2,73 scheint für das menschliche Gehirn typisch zu sein. Auch in den Membranen von Leberzellen findet man fraktale Strukturen. Die Nasenknochen von Hirschen und Polarfüchsen sorgen für maximale Geruchsempfindlichkeit, indem sie die größtmögliche Oberfläche in ein kleines Volumen packen. Daraus ergibt sich eine fraktale Struktur mit konstanter gebrochener Dimension. [...]
Die Blutversorgung [des Menschen, Ergänzung durch den Verfasser] verzweigt sich zwischen acht- und 30mal, bevor sie jede Körperstelle erreicht und ihre fraktale Dimension ist drei. [...]
Fraktale Selbstähnlichkeit durchzieht die Körper der Organismen, aber es ist nicht die platte homunculusartige Selbstähnlichkeit, die sich die frühere Wissenschaft vorgestellt hatte. Der Körper ist eine Vernetzung von lauter selbstähnlichen Systemen wie den Lungen, den Gefäßsystemen, den Nervensystemen." (Briggs/Peat 1990, S. 154-157)

Selbst der Herzschlag des Menschen folgt einem fraktalen Rhythmus. Werden Herzschlag und Atemrhythmus zu regelmäßig, kann das zu Herzversagen durch Stauung führen. Wird der Rhythmus allerdings zu unregelmäßig, verursacht dies das Flimmern eines Herzanfalles. In der Praxis schwankt der Rhythmus also ein Leben lang im Grenzbereich zwischen Chaos und Ordnung hin und her.

Auch Gehirnströme folgen übrigens ungefähr einem fraktalen Muster. Bei Messungen während epileptischer Anfälle wurden hier aber ungewöhnliche Regelmäßigkeiten festgestellt. Vernichtet also Ordnung das normale chaotische Arbeitssystem des Gehirns? Die Wissenschaft wird hier jedenfalls noch sehr vielen Fragen nachgehen müssen. (vgl. Briggs/Peat 1990, S. 151-165; Sexl-Kühnelt-Stadler-Jakesch 1992, S. 9)